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L’aire signée sous une courbe
17 ans · Mathématiques
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Une intégrale définie additionne l’aire comprise entre une courbe et l’axe des x de x = a à x = b, mais l’aire située sous l’axe compte négativement. Inutile d’additionner les fines bandes une par une : on trouve une primitive F et on calcule F(b) − F(a).
Sur l’image
- Borne inférieure a : début de l’intégration, la valeur placée dans F(a)
- Borne supérieure b : fin de l’intégration, la valeur placée dans F(b)
- Région au-dessus de l’axe des x : cette aire compte positivement
- Région sous l’axe des x : cette aire compte négativement et se retranche du total
Exemples
- Sur un graphique vitesse–temps, l’intégrale donne le déplacement net d’une voiture : la marche avant ajoute de la distance, la marche arrière en retire.
- Si le débit d’une cuve est positif quand l’eau entre et négatif quand elle se vide, l’intégrale donne la variation nette du volume.
À retenir
- ∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a), avec F′(x) = f(x).
- L’intégrale donne l’aire algébrique nette. Pour l’aire géométrique totale, on intègre |f(x)|.
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