Orientierte Fläche unter einer Kurve

Alter 17 · Mathematik

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Ein bestimmtes Integral addiert die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse von x = a bis x = b, wobei Fläche unterhalb der Achse negativ zählt. Statt die schmalen Streifen einzeln zu addieren, sucht man eine Stammfunktion F und berechnet F(b) − F(a).

Auf dem Bild

Untere Grenze a: Beginn der Integration, der Wert, der in F(a) eingesetzt wird
Obere Grenze b: Ende der Integration, der Wert, der in F(b) eingesetzt wird
Bereich oberhalb der x-Achse: diese Fläche zählt positiv
Bereich unterhalb der x-Achse: diese Fläche zählt negativ und wird von der Summe abgezogen

Beispiele

In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm liefert das Integral die Netto-Verschiebung eines Autos: Vorwärtsfahren addiert Strecke, Rückwärtsfahren zieht sie ab.
Ist die Durchflussrate eines Tanks positiv, solange Wasser hineinfließt, und negativ, solange er sich leert, liefert das Integral die Netto-Volumenänderung.

Das Wichtigste

∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a), wobei F′(x) = f(x).
Das Integral liefert die orientierte Nettofläche. Für die gesamte geometrische Fläche integriert man |f(x)|.