Georiënteerde oppervlakte onder een kromme

17 jaar · Wiskunde

Vrij toegankelijk tot maandag 16 november

Georiënteerde oppervlakte onder een kromme

Wil je de les bewaren? Druk hem dan af zolang hij vrij toegankelijk is.

Een bepaalde integraal telt de oppervlakte tussen een kromme en de x-as op van x = a tot x = b, maar oppervlakte onder de as telt negatief. Je hoeft de smalle stroken niet één voor één op te tellen: zoek een primitieve F en bereken F(b) − F(a).

Op de afbeelding

Ondergrens a: waar de integratie begint, de waarde die je in F(a) invult
Bovengrens b: waar de integratie eindigt, de waarde die je in F(b) invult
Gebied boven de x-as: deze oppervlakte telt positief
Gebied onder de x-as: deze oppervlakte telt negatief en gaat van het totaal af

Voorbeelden

In een snelheid-tijddiagram geeft de integraal de netto verplaatsing van een auto: vooruitrijden telt afstand op, achteruitrijden trekt die af.
Als het debiet van een tank positief is terwijl er water in stroomt en negatief terwijl hij leegloopt, geeft de integraal de netto volumeverandering.

Belangrijkste punten

∫ van a tot b van f(x) dx = F(b) − F(a), met F′(x) = f(x).
De integraal geeft de netto georiënteerde oppervlakte. Voor de totale meetkundige oppervlakte integreer je |f(x)|.