Mon Prof Augmenté
曲線の下の符号付き面積
17歳 · 算数
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定積分は x = a から x = b までの曲線と x 軸の間の面積を足し合わせますが、x 軸より下の面積はマイナスとして数えます。細い長方形を一つずつ足さなくても、原始関数 F を求めて F(b) − F(a) を計算すれば答えが出ます。
図の内容
- 下端 a：積分の始まり、F(a) に代入する値
- 上端 b：積分の終わり、F(b) に代入する値
- x 軸より上の領域：この面積はプラスとして数える
- x 軸より下の領域：この面積はマイナスとして数え、合計から引く
例
- 速度–時間グラフでは、積分が車の正味の変位を表す。前進すると距離が増え、バックすると減る。
- 水が入るときは流量をプラス、出ていくときはマイナスとすると、タンクの水量の正味の変化が積分で求まる。
要点
- a から b までの f(x) の積分は F(b) − F(a) に等しい（ただし F′(x) = f(x)）。
- 積分で得られるのは符号付きの正味の面積で、幾何学的な合計面積を求めるには |f(x)| を積分する。
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