Mon Prof Augmenté
L'area con segno sotto una curva
17 anni · Matematica
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Un integrale definito somma l'area compresa tra una curva e l'asse x da x = a a x = b, ma l'area sotto l'asse conta come negativa. Non serve sommare le strisce sottili una per una: si trova una primitiva F e si calcola F(b) − F(a).
Nell’immagine
- Estremo inferiore a: dove inizia l'integrazione, il valore da inserire in F(a)
- Estremo superiore b: dove finisce l'integrazione, il valore da inserire in F(b)
- Regione sopra l'asse x: quest'area conta come positiva
- Regione sotto l'asse x: quest'area conta come negativa e si sottrae dal totale
Esempi
- In un grafico velocità–tempo, l'integrale dà lo spostamento netto di un'auto: andare avanti aggiunge distanza, la retromarcia la toglie.
- Se la portata di un serbatoio è positiva mentre entra acqua e negativa mentre si svuota, l'integrale dà la variazione netta di volume.
Da ricordare
- ∫ da a a b di f(x) dx = F(b) − F(a), dove F′(x) = f(x).
- L'integrale dà l'area netta con segno. Per l'area geometrica totale si integra |f(x)|.
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