Mon Prof Augmenté
Rechtecke unter einer Kurve
Alter 17 · Mathematik
Die exakte Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Grenzen ist das bestimmte Integral, und man kann sie schätzen, indem man die Flächen schmaler Rechtecke addiert. Je schmaler und zahlreicher die Rechtecke werden, desto näher kommt ihre Gesamtfläche dem exakten Wert des Integrals.
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Alter 17: diese Woche frei zugänglich
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Auf dem Bild
- Die Kurve: der Graph der Funktion f(x) oberhalb der Achse
- Eine Grenzlinie: eine der Integrationsgrenzen, wo die Fläche beginnt oder endet
- Ein Rechteck: Breite Δx mal Höhe f(x) am linken Rand, ein Summand der Summe
- Eine blaue Lücke: Fläche, die die Rechtecke verfehlen und die schrumpft, wenn sie schmaler werden
Beispiele
- Die Strecke eines Autos schätzen, indem man Geschwindigkeit × Zeit über kurze Zeitabschnitte addiert
- Die in einen Tank geflossene Wassermenge schätzen, indem man Durchfluss × Zeit für jede Minute addiert
Das Wichtigste
- Das bestimmte Integral ist der Grenzwert der Rechtecksummen, wenn die Breite jedes Rechtecks gegen null geht
- Bei einer steigenden Kurve unterschätzen Rechtecke mit der Höhe am linken Rand die wahre Fläche
Quiz: Rechtecke unter einer Kurve (Alter 17)
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Wie hängt das exakte bestimmte Integral mit den Rechtecksummen zusammen?
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Eine Kurve steigt von links nach rechts. Wenn die Höhe jedes Rechtecks an seinem linken Rand genommen wird, wie verhält sich die Rechtecksumme zur tatsächlichen Fläche?
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Wie groß ist bei der Rechteckmethode die Fläche eines Rechtecks, also eines Summanden der Summe?
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