A tangente mostra a inclinação

A derivada de uma função em um ponto indica quão inclinada é a sua curva exatamente ali. Ela é encontrada traçando a reta que apenas toca a curva nesse ponto e medindo a inclinação dessa reta.

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Na imagem

A curva azul é o gráfico de uma função f(x).
O ponto vermelho é o ponto escolhido (a, f(a)) na curva.
A reta tangente laranja toca a curva no ponto vermelho e segue a direção dela nesse lugar.
O triângulo verde mede a subida dividida pelo avanço ao longo da tangente, e essa razão é a derivada f'(a).

Exemplos

O velocímetro de um carro mostra a derivada da distância percorrida em relação ao tempo naquele instante exato.
O quanto uma estrada de montanha é íngreme logo abaixo da roda da bicicleta é a inclinação da tangente ao perfil da estrada naquele ponto.

Para recordar

f'(a) é igual à inclinação da reta tangente em x = a.
Uma derivada positiva significa que a curva sobe, uma negativa que desce, e zero indica uma tangente horizontal, como no topo de uma colina.