La tangente mostra la pendenza

La derivata di una funzione in un punto ti dice quanto è ripida la sua curva proprio lì. La trovi tracciando la retta che sfiora la curva in quel punto e misurando la pendenza di quella retta.

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Nell’immagine

La curva blu è il grafico di una funzione f(x).
Il punto rosso è il punto scelto (a, f(a)) sulla curva.
La retta tangente arancione tocca la curva nel punto rosso e ne segue la direzione in quel punto.
Il triangolo verde misura la salita divisa per lo spostamento orizzontale lungo la tangente, e questo rapporto è la derivata f'(a).

Esempi

Il tachimetro di un'auto mostra la derivata della distanza percorsa rispetto al tempo in quell'istante preciso.
Quanto è ripida una strada di montagna proprio sotto la ruota della tua bici è la pendenza della tangente al profilo della strada in quel punto.

Da ricordare

f'(a) è uguale alla pendenza della retta tangente in x = a.
Una derivata positiva indica che la curva sale, una negativa che scende, e zero indica una tangente orizzontale, come in cima a una collina.