La tangente muestra la pendiente

La derivada de una función en un punto te dice qué tan empinada es su curva justo ahí. Se obtiene trazando la recta que apenas toca la curva en ese punto y midiendo la pendiente de esa recta.

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En la imagen

La curva azul es la gráfica de una función f(x).
El punto rojo es el punto elegido (a, f(a)) sobre la curva.
La recta tangente naranja toca la curva en el punto rojo y sigue su dirección en ese lugar.
El triángulo verde mide la subida dividida por el avance a lo largo de la tangente, y ese cociente es la derivada f'(a).

Ejemplos

El velocímetro de un coche muestra la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo en ese instante exacto.
Lo empinada que está una carretera de montaña justo bajo la rueda de tu bici es la pendiente de la tangente al perfil de la carretera en ese punto.

Para recordar

f'(a) es igual a la pendiente de la recta tangente en x = a.
Una derivada positiva significa que la curva sube, una negativa que baja, y cero indica una tangente horizontal, como en la cima de una colina.