Die Tangente zeigt die Steigung

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle sagt dir, wie steil ihr Graph genau dort ist. Man findet sie, indem man die Gerade zeichnet, die den Graphen in diesem Punkt gerade berührt, und deren Steigung misst.

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Auf dem Bild

Die blaue Kurve ist der Graph einer Funktion f(x).
Der rote Punkt ist der gewählte Punkt (a, f(a)) auf dem Graphen.
Die orange Tangente berührt den Graphen im roten Punkt und verläuft dort in seiner Richtung.
Das grüne Steigungsdreieck teilt den Höhenunterschied durch die Breite entlang der Tangente, und dieses Verhältnis ist die Ableitung f'(a).

Beispiele

Der Tacho eines Autos zeigt die Ableitung der zurückgelegten Strecke nach der Zeit in genau diesem Moment.
Wie steil eine Bergstraße direkt unter deinem Fahrradreifen ist, entspricht der Steigung der Tangente an das Straßenprofil an dieser Stelle.

Das Wichtigste

f'(a) ist gleich der Steigung der Tangente bei x = a.
Eine positive Ableitung heißt, der Graph steigt, eine negative, er fällt, und null bedeutet eine waagerechte Tangente, wie auf einem Hügelgipfel.