Die Steigung einer Kurve in einem Punkt

Auf dem Bild

1. 1Der feste Punkt auf der Kurve, bei x = a
2. 2Ein zweiter Punkt auf der Kurve, weit vom ersten entfernt, ergibt eine Sekante
3. 3Eine Sekante mit viel näherem zweiten Punkt, schon fast wie die Tangente
4. 4Die Höhe des Steigungsdreiecks: die Änderung von y bei kleiner Änderung von x
5. 5Die Tangente y = f(a) + f'(a)(x − a), die die Kurve in einem Punkt berührt

Beispiele

• Der Tacho eines Autos zeigt die Geschwindigkeit in einem Augenblick, berechnet aus immer kürzeren Zeitabschnitten.
• Die Steilheit einer Skipiste genau dort, wo du stehst, nicht der Durchschnitt der ganzen Abfahrt.

Quiz: Die Steigung einer Kurve in einem Punkt (Alter 16)

1. 1

   Eine Sekante verläuft durch den Kurvenpunkt bei x = a und einen zweiten Punkt bei x = a + h. Welcher Ausdruck gibt ihre Steigung an?

   • (f(a+h) + f(a)) / h
   • (f(a+h) − f(a)) / h
   • (f(a+h) − f(a)) · h
2. 2

   Der zweite Punkt rückt immer näher an den festen Punkt heran. Was geschieht mit den Steigungen der Sekanten?

   • Sie schrumpfen alle auf null
   • Sie werden immer größer, ohne Grenze
   • Sie pendeln sich auf einen Wert ein, die Steigung der Tangente
3. 3

   Welche Gleichung beschreibt die Tangente an die Kurve y = f(x) an der Stelle x = a?

   • y = f(a) + f'(a)x
   • y = f(a) + f'(a)(x − a)
   • y = f'(a) + f(a)(x − a)

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