Mon Prof Augmenté
Contare i successi su una tavola di Galton
18 anni · Matematica
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La distribuzione binomiale B(n, p) dà il numero di successi X in n prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo p. La sua media è np e la sua varianza np(1−p), quindi i risultati si addensano attorno a np e diventano più rari man mano che se ne allontanano.
Nell’immagine
- L'imbuto: ogni pallina lasciata cadere compie una serie completa di n prove
- Un chiodo: una prova di Bernoulli, la pallina rimbalza a destra (successo, probabilità p) o a sinistra (insuccesso, probabilità 1−p)
- Il contenitore centrale: il mucchio più alto si trova alla media np
- Un contenitore esterno: il suo mucchio basso mostra la dispersione dei risultati, misurata dalla varianza np(1−p)
Esempi
- Lanciare 10 volte una moneta equa e contare le teste: X ~ B(10; 0,5), con media 5 e varianza 2,5.
- Una cestista che segna il 70% dei tiri liberi ne tenta 20: in media ne segna 14, con varianza 4,2.
Da ricordare
- Per X ~ B(n, p): media np, varianza np(1−p) e P(X = k) = C(n, k) p^k (1−p)^(n−k).
- Il modello vale solo se le prove sono indipendenti e hanno tutte la stessa probabilità p.
Quiz: Contare i successi su una tavola di Galton (18 anni)
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Una variabile X segue B(20; 0,3). Quali sono la sua media e la sua varianza?
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In quale di queste situazioni il modello binomiale NON si applica?
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Per X ~ B(n, p), attorno a quale valore si concentrano i risultati?
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