Mon Prof Augmenté
Treffer zählen auf dem Galtonbrett
Alter 18 · Mathematik
Frei zugänglich bis zum Mittwoch, 18. November
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Die Binomialverteilung B(n, p) beschreibt die Anzahl X der Treffer in n unabhängigen Versuchen, die jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingen. Ihr Erwartungswert ist np und ihre Varianz np(1−p), daher häufen sich die Ergebnisse um np und werden seltener, je weiter sie davon entfernt liegen.
Auf dem Bild
- Der Trichter: Jede losgelassene Kugel durchläuft eine vollständige Reihe von n Versuchen
- Ein Nagel: ein Bernoulli-Versuch, die Kugel springt nach rechts (Treffer, Wahrscheinlichkeit p) oder nach links (Niete, Wahrscheinlichkeit 1−p)
- Das mittlere Fach: Der höchste Haufen liegt beim Erwartungswert np
- Ein äußeres Fach: Sein flacher Haufen zeigt die Streuung der Ergebnisse, gemessen durch die Varianz np(1−p)
Beispiele
- Eine faire Münze 10-mal werfen und die Kopfwürfe zählen: X ~ B(10; 0,5), mit Erwartungswert 5 und Varianz 2,5.
- Eine Basketballspielerin, die 70 % ihrer Freiwürfe trifft, wirft 20-mal: Im Mittel trifft sie 14-mal, mit Varianz 4,2.
Das Wichtigste
- Für X ~ B(n, p): Erwartungswert np, Varianz np(1−p) und P(X = k) = C(n, k) p^k (1−p)^(n−k).
- Das Modell gilt nur, wenn die Versuche unabhängig sind und alle dieselbe Wahrscheinlichkeit p haben.
Quiz: Treffer zählen auf dem Galtonbrett (Alter 18)
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Eine Zufallsgröße X ist B(20; 0,3)-verteilt. Wie groß sind Erwartungswert und Varianz?
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In welcher dieser Situationen gilt das Binomialmodell NICHT?
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Um welchen Wert häufen sich die Ergebnisse bei X ~ B(n, p)?
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