用矩形求曲线下的面积

图中内容

1. 1函数 f 的曲线：一个连续的正函数
2. 2一个矩形：高等于 f 在其左端点的函数值，面积为 f(xᵢ) × Δx
3. 3一条蓝色细缝：矩形与曲线之间的空隙，即估算的误差
4. 4矩形的底边：宽度 Δx = (b − a) / n

示例

• 根据汽车的速度图像，把速度 × 短时间间隔相加，估算行驶的路程
• 根据进水速率，逐分钟估算水箱里的水量

测验：用矩形求曲线下的面积（18岁）

1. 1

   对于连续且为正的函数 f，f 在 a 到 b 之间的定积分表示什么？

   • a 与 b 之间曲线下方区域的面积
   • 曲线在 b 处的陡峭程度
   • f 在 a 与 b 之间达到的最大值
2. 2

   你把 n 个宽度为 Δx = (b − a) / n 的矩形相加来估算积分。当 n 增大时，这些矩形面积之和会怎样？

   • 越来越接近积分 ∫ₐᵇ f(x) dx
   • 无限增大，因为矩形越来越多
   • 无论 n 是多少都不变，因为总宽度始终是 b − a
3. 3

   f 是递增函数，每个矩形的高取 f 在其左端点处的值。这些矩形面积之和给出的是什么？

   • 曲线下面积的低估值
   • 恰好等于曲线下的面积
   • 曲线下面积的高估值

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