L’aire sous une courbe avec des rectangles

Sur l’image

1. 1La courbe de f : une fonction continue et positive
2. 2Un rectangle : sa hauteur est la valeur de f à son bord gauche, donc son aire vaut f(xᵢ) × Δx
3. 3Une bande bleue : l’écart entre le rectangle et la courbe, c’est-à-dire l’erreur d’estimation
4. 4La base du rectangle : sa largeur Δx = (b − a) / n

Exemples

• Estimer la distance parcourue par une voiture à partir de sa courbe de vitesse, en additionnant vitesse × petits intervalles de temps
• Estimer le volume d’eau qui remplit une cuve à partir de son débit, minute par minute

Quiz : L’aire sous une courbe avec des rectangles (18 ans)

1. 1

   Pour une fonction f continue et positive, que représente l’intégrale de f entre a et b ?

   • L’aire du domaine situé sous la courbe entre a et b
   • La pente de la courbe en b
   • La plus grande valeur atteinte par f entre a et b
2. 2

   On estime une intégrale en additionnant n rectangles de largeur Δx = (b − a) / n. Que devient la somme de leurs aires quand n augmente ?

   • Elle se rapproche de plus en plus de l’intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx
   • Elle augmente sans limite, car il y a de plus en plus de rectangles
   • Elle reste la même quel que soit n, car la largeur totale vaut toujours b − a
3. 3

   f est une fonction croissante, et la hauteur de chaque rectangle est la valeur de f à son bord gauche. Que donne la somme des aires des rectangles ?

   • Une sous-estimation de l’aire sous la courbe
   • Exactement l’aire sous la courbe
   • Une surestimation de l’aire sous la courbe

Les réponses, avec leur explication, sont dans l’application. Cette leçon est sortie de la semaine en accès libre : son quiz fait partie de l’abonnement.